质量为 $m$ 的质点 $P$ 在半径为 $a$ 的半球壳的光滑内表面上，以恒定角速率 $\omega$ 做水平圆周运动。圆周运动所在平面比球壳最低点高 $h=\frac13a$。球壳表面对 $P$ 的法向支持力与竖直方向之间的夹角为 $\theta$。

求 $\omega$，用 $a$ 和 $g$ 表示。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

支持力沿球半径指向球心。先由高度求它与竖直方向夹角的余弦，再利用支持力的竖直分量平衡重力、水平分量提供向心力。

The centre of the shell is $a-h$ above the plane of motion. Hence

where $r$ is the radius of the horizontal circle. For the normal reaction $R$,

Since $\sin\theta>0$, the second equation gives $R=ma\omega^2$. Substitution into the first gives $\frac23ma\omega^2=mg$. Thus