一个固定的光滑实心球的球心为 $O$，半径为 $a$。一个质量为 $m$ 的质点从球外表面上的点 $A$ 处，以速率 $u$ 沿垂直于 $OA$ 且向下的方向被抛出，其中 $OA$ 与经过 $O$ 的竖直向上方向成 $\alpha$ 角（见图）。

质点沿球表面上的一段竖直圆弧运动。它在点 $B$ 处与球失去接触，其中 $OB$ 与经过 $O$ 的竖直向上方向成 $\beta$ 角。质点在点 $B$ 处的速率为 $v$。

已知 $u$ 与 $v$ 的比为 $2:3$，求比值 $\cos\alpha:\cos\beta$。

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You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

脱离球面时支持力为零，因此重力的径向分量单独提供向心力。再用能量守恒把 $A$、$B$ 的高度差与速率比联系起来。

At $B$, the normal reaction vanishes. Resolving towards $O$ gives

The heights of $A$ and $B$ above $O$ are $a\cos\alpha$ and $a\cos\beta$. Conservation of energy gives

Since $u^2=\frac49v^2$ and $v^2=ga\cos\beta$,

The required ratio is $23:18$.