一个物体由一个棱长为 $d$ 的均匀实心正方体和两个底面为正方形的均匀实心四棱锥组成。正方体与四棱锥由同一种材料制成。

一个底边长为 $d$、高为 $h$ 的四棱锥固定在正方体的顶面上，使该四棱锥的底面与正方体的顶面重合。点 $A$ 是该四棱锥的顶点。点 $B$ 位于正方体底面的中心，在 $A$ 的正下方。第二个四棱锥的底边长为 $d$、高为 $kh$，固定在正方体的一个竖直面上，使该四棱锥的底面与正方体的这个竖直面重合（见图，图中显示了包含对称轴的截面）。

(a) 求物体的质心到 $AB$ 的距离的表达式，用 $h$、$k$ 和 $d$ 表示。

将物体放在一个水平面上，使正方体包含点 $B$ 的底面与水平面接触。已知物体处于即将倾倒的临界状态。

(b) 求 $h$ 的值，用 $k$ 和 $d$ 表示。

(c) 已知 $h=1.5d$，求 $k$ 的值。

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You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

只需求质心到竖直线 $AB$ 的水平距离。立方体和上方棱锥的质心在 $AB$ 上，侧面棱锥的质心在其底面外 $\frac14kh$ 处。

Let $x$ be the horizontal distance of the centre of mass from $AB$, positive towards the side pyramid. Since the density is the same throughout, the masses are proportional to the volumes

The first two centres of mass lie on $AB$. The centre of mass of the side pyramid lies one quarter of the way from the centre of its base to its vertex, at distance $\frac d2+\frac{kh}{4}$ from $AB$. Taking moments gives

即将倾倒时，质心的竖直投影恰好在立方体底面朝侧棱锥的一条边上。把这个条件代入质心公式，并选取正的高度。

At limiting equilibrium, the line of action of the weight passes through the edge of the base nearest the side pyramid, so $x=d/2$. Therefore

Expanding gives $2dkh+k^2h^2=6d^2+2dh+2dkh$, so $k^2h^2-2dh-6d^2=0$. The quadratic formula gives

Since $k,d>0$, the minus root is negative. Hence

用上一问尚未开方的方程，代入给定的高，最后根据侧棱锥的高度确定 $k$ 的符号。

Substituting $h=\frac32d$ into $k^2h^2-2dh-6d^2=0$ gives

As $kh>0$, we obtain $k=2$.