在时刻 $t=0\,\mathrm{s}$，一个质点 $P$ 从水平地面上的点 $O$ 被抛出。$P$ 的初速度大小为 $25\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，方向与水平方向向上成 $\alpha$ 角，其中 $\sin\alpha=\frac45$。在时刻 $t=T\,\mathrm{s}$，第二个质点 $Q$ 从水平地面上、$P$ 将到达的最高点的正下方竖直向上被抛出。$Q$ 的初速度也为 $25\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。两个质点均只在重力作用下自由运动。当 $Q$ 向上运动到 $P$ 到达的最高点时，两质点发生碰撞。

(a) 证明两个质点在 $P$ 被抛出 $2$ 秒后发生碰撞。

(b) 求 $T$ 的值。

(c) 碰撞使 $P$ 的轨迹发生变化，但其速度的水平分量保持不变。碰撞后紧接着，$P$ 的速率为 $v\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，运动方向与水平方向向上成 $\theta$ 角。

求碰撞后 $P$ 相对于地面的最大高度，用 $\tan\theta$ 表示。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

在最高点，$P$ 的竖直速度为零。用竖直速度随时间的变化求碰撞时刻。

The initial vertical velocity of $P$ is $25(4/5)=20\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. At its greatest height the vertical velocity is zero, so $20-10t=0$. The collision therefore occurs $2\,\mathrm{s}$ after $P$ is projected.

先算碰撞高度，再把 $Q$ 的飞行时间写成 $2-T$。在两根中选出 $Q$ 仍向上运动的那一个。

The height at collision is $20(2)-\frac12(10)(2^2)=20\,\mathrm{m}$. Put $\tau=2-T$. For $Q$ to reach this height,

The vertical velocity of $Q$ is $25-10\tau$, which equals $15$ for $\tau=1$ and $-15$ for $\tau=4$. Hence $\tau=1$ and $T=1$.

碰后 $P$ 的水平分量仍等于最初的水平分量。借助 $\tan\theta$ 求新竖直分量，再算它从碰撞点上升的高度。

Since $\cos\alpha=3/5$, the horizontal component remains $25\cos\alpha=15\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. Hence $v\cos\theta=15$, so the new vertical component is $15\tan\theta\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. The additional rise, found from $v_y^2=u_y^2-2g\Delta y$ at the new highest point, is

Adding the height at collision gives a greatest height of