一根长为 $a$、不可伸长的轻绳的一端连接于固定点 $O$，另一端连接于质量为 $m$ 的质点。绳处于绷紧状态，与经过 $O$ 的竖直向下方向成 $\theta$ 角。质点以速率 $2\sqrt{ag}$ 做水平圆周运动。

求 $\cos\theta$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

绳子的张力一方面平衡重力，另一方面提供水平向心力。圆周半径为 $a\sin\theta$，消去张力后解关于 $\cos\theta$ 的二次方程。

Let $T$ be the tension. The horizontal circle has radius $a\sin\theta$. Resolving vertically and towards its centre gives

Eliminating $T$ yields $\sin^2\theta=4\cos\theta$. With $c=\cos\theta$ this becomes

Since the upward component of the tension is positive, $c>0$. Hence $\cos\theta=\sqrt5-2$.