一个质量为 $m$ 的质点通过一根长为 $a$、不可伸长的轻绳连接于固定点 $O$。质点绕 $O$ 做完整的竖直圆周运动。点 $A$ 和 $B$ 位于质点的运动路径上。$OA$ 与经过 $O$ 的竖直向上方向成 $60^\circ$ 角。质点在 $A$ 处的速率为 $u$，此时绳中的张力为 $T_A$。点 $B$ 位于 $O$ 的正下方。质点在 $B$ 处的速率为 $2u$，此时绳中的张力为 $T_B$。

(a) 证明 $T_B=kT_A$，并确定常数 $k$ 的值。

(b) 求质点从最低点到最高点之间的动能损失，答案用 $m$、$g$ 和 $a$ 表示。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

先用 $A$ 到 $B$ 的落差求 $u^2$，再分别沿两点指向圆心的方向列式，注意重力在两点的径向分量符号不同。

The vertical drop from $A$ to $B$ is $a\cos60^\circ+a=3a/2$. Conservation of energy gives

At $A$ and $B$ the radial equations towards $O$ are

It follows that $T_A=\frac12mg$ and $T_B=5mg$, so $T_B=10T_A$ and $k=10$.

按题设完成整周的假设，张力不做功，圆周最低点到最高点的动能减少量等于重力势能增加量。这是形式计算；上方勘误已说明给定数据不能实现轻绳完整圆周运动。

Under the stated complete-circle assumption, the height increases by $2a$ from the lowest point to the top of the circle. Tension does no work, so the formal loss of kinetic energy is $mg(2a)=2mga$. The given string motion cannot in fact remain circular up to the top, as explained in the warning above.