两个质点 $A$ 和 $B$ 的质量分别为 $km$ 和 $m$。质点 $A$ 静止在一个光滑水平面上，且恰好位于两堵固定、平行、光滑的竖直墙壁的正中间。质点 $B$ 以速率 $u$ 在该平面上沿垂直于墙壁的方向运动，并与 $A$ 发生正碰。两质点之间的恢复系数为 $0.2$。碰撞使 $B$ 的运动方向反转。

(a) 证明 $k>5$。

(b) 随后，质点 $B$ 与其中一堵竖直墙壁碰撞并弹回，$B$ 与墙壁之间的恢复系数为 $0.8$。接着，恰在 $A$ 与另一堵竖直墙壁碰撞的瞬间，$B$ 再次与质点 $A$ 碰撞。

求 $k$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

沿 $B$ 原来的运动方向取正，给碰后的速度保留正负号。联立动量守恒和恢复定律后，用 $B$ 反向的条件求 $k$ 的范围。

Let $v_A$ and $v_B$ be the signed velocities after the first collision, with the initial direction of $B$ positive. Momentum conservation and restitution give

Substituting $v_B=v_A-u/5$ gives $(k+1)v_A=6u/5$. Therefore

Since $B$ reverses, $v_B<0$. As $u>0$ and $k+1>0$, this requires $k>5$.

把两墙到首次碰撞点的距离都记为 $d$。$A$ 走 $d$，$B$ 先退到一面墙再向另一面墙走 $2d$，把这两段时间相加。

Let $w=-v_B>0$ be the speed of $B$ before it rebounds from the wall. Its speed after the rebound is $\frac45w$. The time for $A$ to reach the opposite wall is $d/v_A$, while the time for $B$ to reach the same point is

Equating the times gives $w/v_A=7/2$. From part (a), $w/v_A=(k-5)/6$. Hence $k-5=21$ and $k=26$.