质量为 $m$ 的质点 $P$ 在变力 $m(v^2-ku^2)$ 的作用下沿一条水平直线运动，其中 $v$ 是 $P$ 在时刻 $t$ 的速度，$u$ 是 $P$ 的初速度，$k$ 是正常数。已知 $u>0$ 且 $k>1$。

(a) 解释为什么初始时 $P$ 的加速度与速度方向相反。

(b) 求 $P$ 首次达到瞬时静止之前经过的路程，用 $k$ 表示。

(c) 求 $P$ 首次达到瞬时静止所需的时间，用 $k$ 和 $u$ 表示。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

把初速度代入加速度表达式，比较两者的符号。

Newton’s second law gives acceleration $v^2-ku^2$. Initially, this is $(1-k)u^2<0$, whereas the initial velocity is $u>0$. The two directions are therefore opposite.

用 $v\,\mathrm{d}v/\mathrm{d}x$ 表示加速度，在速度从 $u$ 降至零的区间对 $v$ 积分。

While $0<v\le u$, the acceleration is negative. With $x$ measured from the starting point,

Since $ku^2-v^2\ge(k-1)u^2>0$ on this interval, the logarithm below is defined. The velocity stays positive until the first stop, so displacement equals distance. The distance $s$ is

改用 $\mathrm{d}v/\mathrm{d}t$ 表示加速度。把分母分解为两个一次因式，再对速度积分。

Let $b=u\sqrt{k}$, so $b>u$ and $\mathrm{d}v/\mathrm{d}t=v^2-b^2$. Since

both $b-v$ and $b+v$ are positive for $0\le v\le u$. The time to reach $v=0$ is