点 $A$ 和 $B$ 位于一个光滑斜面的最大坡度线上，且 $A$ 位于 $B$ 上方。斜面与水平面成锐角 $\alpha$。

在时刻 $t=0$，质点 $P$ 从 $A$ 以速率 $u$、与斜面成 $2\alpha$ 角被抛出，并只在重力作用下自由运动（见图）。同时，第二个质点 $Q$ 从 $A$ 处由静止释放。质点 $Q$ 沿最大坡度线向斜面下方运动。两个质点在同一个竖直平面内运动。在时刻 $t=T$，两个质点在点 $B$ 处发生碰撞。$AB$ 的长度为 $d$。

(a) 通过考虑质点 $Q$ 的运动，证明 $T=\sqrt{\dfrac{2d}{g\sin\alpha}}$。

(b) 求 $\alpha$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

$Q$ 沿光滑斜面从静止开始做匀加速运动。取沿斜面向下为正，直接用位移公式。

The acceleration of $Q$ along the plane is $g\sin\alpha$. From rest it travels distance $d$ in time $T$, so $d=\frac12g\sin\alpha\,T^2$. Hence

也可先由重力势能的减少求 $Q$ 到达 $B$ 的速度，再用速度与时间的关系。

By conservation of energy the speed $V$ of $Q$ at $B$ satisfies

Since the acceleration along the plane is $g\sin\alpha$ and $Q$ starts from rest,

根据图，$P$ 的发射方向在水平线上方 $\alpha$。先用水平位移消去 $u$，再把竖直位移与 $Q$ 的时间式联立。

Taking $A$ as the origin and the horizontal direction towards $B$ as positive, the displacement of $P$ at time $T$ is $(d\cos\alpha,-d\sin\alpha)$. Thus

Since $\cos\alpha>0$, the first equation gives $uT=d$. Substitution in the second gives $T^2=4d\sin\alpha/g$. Equating the two expressions for $T^2$ gives

Since $\alpha$ is acute, $\alpha=45^\circ$.

也可沿斜面比较两个质点的位移。它们的沿斜面加速度相同、位移相同，因此沿斜面的初速度也相同。

Down the plane, both particles have acceleration $g\sin\alpha$. The initial component of velocity of $P$ in this direction is $u\cos(2\alpha)$. Their displacements along the plane at collision are equal, so

As $uT>0$, $\cos(2\alpha)=0$. With $0<2\alpha<180^\circ$, we obtain $\alpha=45^\circ$.

还可用抛物线轨迹方程，把 $B$ 的水平和竖直坐标代入，再用共同的运动时间消去 $u$。

The trajectory of $P$ in horizontal and vertical coordinates based at $A$ is

At $B$, substituting $x=d\cos\alpha$ and $y=-d\sin\alpha$ gives

The horizontal motion gives $uT=d$, and part (a) then gives $u^2=gd\sin\alpha/2$. Substituting gives $gd=2gd\sin^2\alpha$. Since $g,d>0$, $1=2\sin^2\alpha$, so the acute angle is $\alpha=45^\circ$.