一根轻质弹性细绳的自然长度为 $a$，弹性模量为 $4mg$。细绳的一端固定在光滑水平面上的点 $O$。一个质量为 $m$ 的质点 $P$ 连接在细绳的另一端。质点 $P$ 沿该平面向 $OP$ 方向射出。当细绳的长度为 $\frac54a$ 时，$P$ 的速率为 $v$。当细绳的长度为 $\frac32a$ 时，$P$ 的速率为 $\frac12v$。

(a) 求 $v$ 用 $a$ 和 $g$ 表示的表达式。

(b) 当细绳拉伸后的长度为 $\frac32a$ 时，求 $P$ 的加速度，用 $g$ 表示。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

动能的减少量等于弹性势能的增加量。两处绳长分别减去自然长度 $a$，得到 $a/4$ 与 $a/2$ 的伸长。

Conservation of energy gives

Thus $\frac38mv^2=\frac38mga$, giving $v=\sqrt{ag}$.

此时沿桌面的力只有绳张力，方向指向 $O$。先按胡克定律求其大小，再除以质量。

The extension is $a/2$, so the tension is $(4mg/a)(a/2)=2mg$. Newton’s second law gives $mA=2mg$, so the acceleration is $A=2g$ towards $O$.