一个质量为 $m$ 的质点 $P$ 连接在一根长为 $a$ 的轻质不可伸长细绳的一端。细绳的另一端连接在固定点 $O$。保持细绳绷紧，且 $OP$ 水平。质点 $P$ 以速率 $\sqrt{\frac13ag}$ 竖直向下射出，并开始在竖直圆周上运动。$P$ 经过圆周的最低点，到达点 $Q$，其中 $OQ$ 与竖直向下方向的夹角为 $\theta$。在 $Q$ 点，$P$ 的速率为 $\sqrt{kag}$，细绳中的张力为 $\frac{11}6mg$。

(a) 求 $k$ 的值和 $\cos\theta$ 的值。

在 $Q$ 点，质点 $P$ 与细绳脱离。

(b) 在随后的运动中，求 $P$ 相对于圆周最低点所在水平面所能达到的最大高度。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

用初始点到 $Q$ 的高度下降量求速率平方。在 $Q$ 沿指向圆心的方向列式，将两个方程联立。

The drop from the initial horizontal radius to $Q$ is $a\cos\theta$. Energy conservation gives

At $Q$, gravity has an outward radial component $mg\cos\theta$, so

Dividing the energy equation by $ag$ and the radial equation by $mg$ gives $k=1/3+2\cos\theta$ and $k=11/6-\cos\theta$. Hence

Substituting gives $k=1/3+1=4/3$.

脱离时速度沿切线，且质点越过最低点后正在上升。先算其竖直分量带来的额外上升高度，再加上 $Q$ 的高度。

The initial upward component after detachment is $\sqrt{kag}\sin\theta$. At the highest point the vertical velocity is zero. If $h$ is the rise from $Q$, then

Point $Q$ is already $a(1-\cos\theta)=a/2$ above the lowest point of the circle. The greatest height above that level is $a$.