一个质点 $P$ 从水平面上的点 $O$ 以速率 $V\text{ m s}^{-1}$、与水平向上成 $75^\circ$ 角射出。随后，它仅在重力作用下自由运动。

(a) 证明总飞行时间为 $\frac{2V}g\sin75^\circ$ 秒。

现在放置一块光滑的竖直挡板，其下端位于该平面上，距 $O$ 点 $15\text{ m}$。质点按先前的方式射出，但现在撞上挡板，反弹并回到 $O$。挡板与质点之间的恢复系数为 $\frac35$。

(b) 解释为什么总飞行时间保持不变。

(c) 求 $V$ 用 $g$ 表示的表达式。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

用竖直位移等于零求回到地面所需的时间。舍去发射瞬间的零根。

The vertical displacement at time $t$ is $Vt\sin75^\circ-\frac12gt^2$. At landing it is zero. Factoring gives $t(V\sin75^\circ-gt/2)=0$. Rejecting the launch time $t=0$, the positive root is

光滑竖直墙的冲量为水平方向，所以碰撞只改变水平分量。竖直运动仍与无墙时相同。

The impact with the smooth vertical barrier changes only the horizontal velocity. The vertical velocity is continuous at impact and the vertical acceleration is still $-g$, so the particle returns to ground level at the same time as before.

将去墙和返回各自的水平距离除以对应的速率。两段时间之和等于 (a) 所得的飞行时间。

The outward horizontal speed is $V\cos75^\circ$, and the return speed is $(3/5)V\cos75^\circ$. The total time is

Equating to the result of part (a) gives

Since $\sin150^\circ=1/2$, we have $V^2=80g$. Taking the positive root gives $V=4\sqrt{5g}$.