一根自然长度为 $a$、弹性模量为 $\frac{16}3Mg$ 的轻质弹性细绳的一端连接在固定点 $O$。一个质量为 $4M$ 的质点 $P$ 连接在细绳的另一端，并竖直悬挂，处于平衡状态。另一个质量为 $2M$ 的质点连接到 $P$ 上，然后将合成质点从静止释放。合成质点下降 $\frac14a$ 的距离后，其速率为 $v$。

求 $v$ 用 $g$ 和 $a$ 表示的表达式。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

先用原来悬挂质量的平衡求伸长。加上第二个粒子后，下降 $a/4$ 使伸长增加到 $a$，用重力势能的减少扣去弹性势能的增加。

Let the initial extension be $e$. Equilibrium before adding the second mass gives

After descending $a/4$ the extension is $a$. Conservation of energy for the combined mass $6M$ gives

The increase in elastic energy is

Hence

Taking the positive square root gives $v=\frac13\sqrt{ag}$.