一个质量为 $5\text{ kg}$ 的质点 $P$ 沿一条水平直线运动。在 $t\text{ s}$ 时，$P$ 的速度为 $v\text{ m s}^{-1}$，相对于直线上固定点 $O$ 的位移为 $x\text{ m}$。作用在 $P$ 上的力为沿 $OP$ 方向、大小为 $\frac{500}v\text{ N}$ 的力，以及大小为 $\frac12v^2\text{ N}$ 的阻力。当 $t=0$ 时，$x=0$，$v=5$。

(a) 求 $v$ 用 $x$ 表示的表达式。

(b) 写出当 $x$ 很大时，速率趋近的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

沿初始运动方向取正。用 $v\,\mathrm{d}v/\mathrm{d}x$ 写加速度，分离变量后利用分母 $1000-v^3$ 的导数。

On the branch from $x=0$ with $v=5$, the applied force is forwards and the resistance is backwards. Newton’s second law gives

The speed increases from $5$ towards the value $10$ at which the resultant force is zero. On this branch $5\le v<10$, so $1000-v^3>0$. Since $\mathrm{d}(1000-s^3)/\mathrm{d}s=-3s^2$, integration gives

Using $1000-5^3=875$, we obtain

Multiplying by $-3/10$ and exponentiating gives

Therefore

For $x\ge0$ this velocity stays positive, consistent with forward motion.

当 $x$ 趋于无穷时，速度表达式中的指数项趋于零。

As $x\to\infty$, $e^{-3x/10}\to0$, so the speed approaches $10\,\mathrm{m\,s^{-1}}$.