题目

Problem

A particle $P$ is projected with speed $u\text{ m s}^{-1}$ at an angle of $\theta$ above the horizontal from a point $O$ on a horizontal plane and moves freely under gravity. The horizontal and vertical displacements of $P$ from $O$ at a subsequent time $t\text{ s}$ are denoted by $x\text{ m}$ and $y\text{ m}$ respectively.

(a) Show that the equation of the trajectory is given by

y=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2u^2}(1+\tan^2\theta).

(4)

In the subsequent motion $P$ passes through the point with coordinates $(30,20)$ .

(b) Given that one possible value of $\tan\theta$ is $\frac43$ , find the other possible value of $\tan\theta$ .

(5)

题目中文翻译

一个质点 $P$ 从水平面上的点 $O$ 以速率 $u\text{ m s}^{-1}$ 、与水平向上成 $\theta$ 角射出，并仅在重力作用下自由运动。在随后 $t\text{ s}$ 时， $P$ 相对于 $O$ 的水平位移和竖直位移分别记为 $x\text{ m}$ 和 $y\text{ m}$ 。

(a) 证明轨迹方程为

y=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2u^2}(1+\tan^2\theta).

(4)

在随后的运动中， $P$ 经过坐标为 $(30,20)$ 的点。

(b) 已知 $\tan\theta$ 的一个可能值为 $\frac43$ ，求 $\tan\theta$ 的另一个可能值。

(5)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ( $g$ ) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ .

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ 。

解答

(a)

解法一

思路

展开

由水平匀速运动求出飞行时间，再代入竖直位移式。最后用 $\sec^2\theta=1+\tan^2\theta$ 。

答题过程

展开

The displacements are $x=ut\cos\theta$ and $y=ut\sin\theta-\frac12gt^2$ . Substituting $t=x/(u\cos\theta)$ gives

\begin{align*} y=&\,u\sin\theta\frac{x}{u\cos\theta} -\frac12g\bigg(\frac{x}{u\cos\theta}\bigg)^2\\[4mm] =&\,x\tan\theta-\frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta}\\[4mm] =&\,x\tan\theta-\frac{gx^2}{2u^2}(1+\tan^2\theta). \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

先用已知的一根 $\tan\theta=4/3$ 求初速率。再把这个速率代回轨迹方程，解出另一根。

答题过程

展开

At $(30,20)$ with $g=10$ ,

20=30\tan\theta-\frac{4500}{u^2}(1+\tan^2\theta).

With $\tan\theta=4/3$ , this gives

\begin{align*} 20=&\,40-\frac{4500}{u^2}\bigg(1+\frac{16}{9}\bigg)\\[4mm] =&\,40-\frac{12500}{u^2},\\[4mm] u^2=&\,\frac{12500}{20}=625. \end{align*}

Writing $z=\tan\theta$ and substituting this value of $u^2$ gives

\begin{align*} 20=&\,30z-\frac{36}{5}(1+z^2),\\[4mm] 100=&\,150z-36-36z^2. \end{align*}

Rearranging and dividing by $2$ gives

18z^2-75z+68=(3z-4)(6z-17)=0.

The other possible value is $17/6$ .

CIE 9231 2022 November Paper 32 Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程