一根轻质不可伸长细绳穿过固定的光滑圆环 $R$，圆环位于光滑水平面上方，高度为 $h$。细绳的一端连接在质量为 $m$ 的质点 $A$ 上。细绳的另一端连接在质量为 $\frac67m$ 的质点 $B$ 上。质点 $A$ 在该平面上做水平圆周运动。质点 $B$ 悬挂在圆环下方、水平面上方，处于平衡状态（见图）。

当 $A$ 以恒定角速率 $\omega$ 运动时，$AR$ 与 $BR$ 的夹角为 $\theta$，$A$ 与水平面之间的法向反作用力为 $N$。

当 $A$ 以恒定角速率 $\frac32\omega$ 运动时，$AR$ 与 $BR$ 的夹角为 $\alpha$，$A$ 与水平面之间的法向反作用力为 $\frac12N$。

(a) 证明 $\cos\theta=\frac49\cos\alpha$。

(b) 求 $N$，用 $m$ 和 $g$ 表示，并求 $\cos\alpha$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

悬挂粒子静止，因而两种情况下的绳张力相同。对桌面上的质点用半径 $h\tan\theta$ 写向心力式，比较两个角速率。

The ring is smooth and $B$ is at rest, so the string tension is $T=6mg/7$ in both cases. The radii in the two cases are $h\tan\theta$ and $h\tan\alpha$. The first radial equation is

The cancellation is valid since $0<\theta<90^\circ$. In the second case,

Comparing the two relations gives

两个情形的竖直加速度都为零，分别列出支持力和绳张力的竖直平衡式。用 (a) 消去 $\cos\theta$。

Vertical equilibrium for $A$ gives

Writing $c=\cos\alpha$ and using $\cos\theta=4c/9$, the first equation gives $N/(mg)=1-8c/21$. Substituting into the second gives

Thus $\cos\alpha=3/4$, and $N=mg(1-2/7)=5mg/7$.