两个半径相同的均匀光滑球体 $A$ 和 $B$ 的质量分别为 $m$ 和 $\frac12m$。两球在水平面上运动并发生碰撞。在即将碰撞前，球体 $A$ 以速率 $u$ 运动，其运动方向与球心连线成 $\alpha$ 角。球体 $B$ 以速率 $2u$ 运动，其运动方向与球心连线成 $\beta$ 角（见图）。两球之间的恢复系数为 $\frac58$，且 $\alpha+\beta=90^\circ$。

(a) 求碰撞后 $B$ 的速度在平行于球心连线方向上的分量，答案用 $u$ 和 $\alpha$ 表示。

碰撞后 $B$ 的运动方向与碰撞前 $A$ 的运动方向平行。

(b) 求 $\tan\alpha$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

沿球心连线从 $A$ 到 $B$ 取正。$B$ 碰前的沿线分量是负的，并利用 $\cos\beta=\sin\alpha$。

Let $v,w$ be the signed parallel components of $A,B$ after impact. The initial components are $u\cos\alpha$ and $-2u\cos\beta=-2u\sin\alpha$. Momentum conservation and restitution give

Adding the last two equations eliminates $v$:

Multiplying by $2/3$ gives

in the positive direction along the line of centres.

$B$ 垂直于球心连线的分量保持不变。它的碰后方向与 $A$ 碰前方向平行，因此用 $B$ 碰后两个分量之比表示 $\tan\alpha$。

The perpendicular component of $B$ has magnitude $2u\sin\beta=2u\cos\alpha$. By the parallel directions,

Here $\cos\alpha>0$ since $\alpha$ is acute. Writing $z=\tan\alpha$ gives $z(13+2z)=24$, or

The angle is acute, so $\tan\alpha=3/2$.