一个光滑圆柱体固定在粗糙水平面上，其对称轴水平。一根长为 $4a$、重量为 $W$ 的均匀杆 $AB$ 靠在圆柱体的表面上。杆的 $A$ 端与水平面接触。包含杆 $AB$ 的竖直平面垂直于圆柱体的轴。杆与圆柱体的接触点为 $C$，其中 $AC=3a$。杆与水平面的夹角为 $\theta$，其中 $\tan\theta=\frac34$（见图）。杆与水平面之间的摩擦系数为 $\frac67$。

一个重量为 $kW$ 的质点连接在杆的 $B$ 点。杆即将滑动。杆与圆柱体之间的法向反作用力为 $N$。

(a) 证明 $N=\frac8{15}W(1+2k)$。

(b) 求 $k$ 的值。

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Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

绕 $A$ 取矩，地面支持力与摩擦力都通过该点。光滑圆柱对杆的支持力垂直于杆，所以它的力臂就是 $AC$。

The reaction $N$ is perpendicular to the rod at $C$, so its moment about $A$ is $N(3a)$. The weights $W$ and $kW$ have horizontal lever arms $2a\cos\theta$ and $4a\cos\theta$. Equating moments gives

Since $\cos\theta=4/5$, dividing by $a$ gives

圆柱支持力斜向左上，因此地面摩擦力向右。用水平、竖直平衡和极限摩擦关系消去地面支持力。

Let $R$ and $F$ be the ground reaction and the friction magnitude at $A$. Resolving horizontally and vertically gives

Since $F=\frac67R$, we get $R=(7/6)(3N/5)=7N/10$. Hence

Thus $5+5k=4+8k$, and $k=1/3$.