两个半径相同的均匀光滑球体 $A$ 和 $B$ 的质量分别为 $m$ 和 $km$。两个球体在水平面上运动，速率分别为 $u$ 和 $\frac58u$。在两球即将碰撞前，$A$ 沿两球的球心连线运动，$B$ 的运动方向与球心连线成 $\alpha$ 角（见图）。两球之间的恢复系数为 $\frac23$，且 $\tan\alpha=\frac34$。

碰撞后，$B$ 的运动方向垂直于球心连线。

(a) 求 $k$ 的值。

(b) 求此次碰撞造成的总动能损失。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

由图确定碰前 $A$ 与 $B$ 沿球心连线的分量方向相反。$B$ 碰后沿线分量为零，先用恢复定律求 $A$ 的分量，再用动量守恒求质量比。

Take the direction from $A$ to $B$ as positive. From $\tan\alpha=3/4$, we get $\cos\alpha=4/5$. The initial parallel components are $u$ and $-(5u/8)\cos\alpha=-u/2$. Since the final component of $B$ is zero, restitution gives

so $v_A=-u$. Conservation of momentum gives

计算碰前和碰后的总动能。$B$ 碰后只剩垂直分量，$A$ 碰后速率仍为 $u$。

The final speed of $B$ is its unchanged perpendicular component $(5u/8)(3/5)=3u/8$. The final speed of $A$ is $u$. With $k=4$, the total kinetic energies and their difference are