两个半径相等的均匀光滑球体 $A$ 和 $B$ 的质量分别为 $m$ 和 $2m$。两球在光滑水平面上均以速率 $u$ 运动，并发生碰撞。碰撞前的瞬间，$A$ 的运动方向与两球的连心线成 $60^\circ$ 角，$B$ 的运动方向与连心线成 $\theta$ 角（见图）。两球之间的恢复系数为 $e$。

碰撞后，$A$ 沿连心线方向的速度分量为 $v$，$B$ 则沿垂直于连心线的方向运动。此时球体 $A$ 的动能是球体 $B$ 的两倍。

(a) 证明 $v=\frac12u(4\cos\theta-1)$。

(b) 求 $\cos\theta$ 的值。

(c) 求 $e$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

取沿球心连线从 $B$ 指向 $A$ 为正。$B$ 碰后垂直于球心连线，因此碰后沿线的动量只来自 $A$。

Along the line from $B$ to $A$, the incoming components are $-u\cos60^\circ$ for $A$ and $u\cos\theta$ for $B$. The final components are $v$ and zero. Conservation of momentum gives

so $v=\frac12u(4\cos\theta-1)$.

碰撞不改变垂直于球心连线的速度分量。将两球碰后动能写成速度分量的平方和，再代入动能比。

The perpendicular components have magnitudes $u\sin60^\circ$ and $u\sin\theta$. Since the kinetic energy of $A$ is twice that of $B$,

Writing $c=\cos\theta$ and using part (a) gives

The angle shown is acute, so $\cos\theta=3/4$.

恢复系数是球心连线方向上的分离速率与接近速率之比。用上一问的 $\cos\theta$ 求两者。

With $\cos\theta=3/4$, part (a) gives $v=u$. The separation speed is $u$, and the approach speed is $u\cos60^\circ+u\cos\theta=5u/4$. Thus $e=u/(5u/4)=4/5$.