一个质量为 $m$ 的质点 $P$ 连接在一根长为 $3a$ 的不可伸长轻杆的一端。一个相同的质点 $Q$ 连接在杆的另一端。杆在其上的点 $O$ 处由光滑枢轴支承，其中 $OQ=x$。由杆和质点组成的系统在竖直平面内绕 $O$ 转动。

在杆竖直且 $P$ 位于 $Q$ 上方的某一瞬间，质点 $P$ 以速率 $u$ 沿水平方向运动。当杆从竖直位置转过 $60^\circ$ 角时，$P$ 的速率为 $2\sqrt{ag}$，且杆的两部分 $OP$ 和 $OQ$ 中的张力大小相等。

(a) 证明，当杆从竖直位置转过 $60^\circ$ 角时，$Q$ 的速率为 $\frac{2x}{3a-x}\sqrt{ag}$。

(b) 用 $a$ 表示 $x$。

(c) 用 $a$ 和 $g$ 表示 $u$。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

两粒子在同一根刚杆上，绕 $O$ 的角速度相同。线速率之比等于各自圆周半径之比。

The radii of the paths of $P$ and $Q$ are $3a-x$ and $x$. At the stated instant their angular speeds are equal, so

分别沿两粒子指向 $O$ 的方向列式。轻杆可受拉也可受压，先用有符号的杆力检查两段是否可能符号相反。

Let $T_P$ and $T_Q$ be the signed inward forces exerted by the rod. For the common angular speed $\omega=2\sqrt{ag}/(3a-x)$, the radial equations are

Adding gives $T_P+T_Q=3ma\omega^2>0$. Equal magnitudes therefore imply $T_P=T_Q$, since opposite signed forces of equal magnitude would have sum zero. Subtracting the two radial equations, using $T_P=T_Q$, gives $mg=m(3a-2x)\omega^2$. Hence

Substitution of $\omega^2=4ag/(3a-x)^2$ gives

Rearranging,

As $0<x<3a$, we obtain $x=a$.

对整个系统用机械能守恒。$P$ 下降、$Q$ 上升，重力势能只需计算两者高度变化的净值。两粒子在每一时刻的速率比都由杆长确定。

With $x=a$, the two radii are $2a$ and $a$. Initially the speeds are $u$ and $u/2$. After the turn they are $2\sqrt{ag}$ and $\sqrt{ag}$. The vertical drop of $P$ is $2a(1-\cos60^\circ)=a$, and the rise of $Q$ is $a(1-\cos60^\circ)=a/2$. Thus the gain in kinetic energy is $mga/2$, giving

Cancelling $m/2$ gives $5ag-\frac54u^2=ag$, so $\frac54u^2=4ag$ and $u^2=16ag/5$. Since $u>0$, $u=4\sqrt{ag/5}$.