题目

Problem

One end of a light inextensible string of length $a$ is attached to a fixed point $O$ . The other end of the string is attached to a particle of mass $m$ . The string is taut and makes an angle $\theta$ with the downward vertical through $O$ , where $\cos\theta=\frac23$ . The particle moves in a horizontal circle with speed $v$ .

Find $v$ in terms of $a$ and $g$ .

(4)

题目中文翻译

一根长为 $a$ 的不可伸长轻绳的一端连接在固定点 $O$ 处，另一端连接一个质量为 $m$ 的质点。绳绷紧，并与经过 $O$ 的竖直向下方向成 $\theta$ 角，其中 $\cos\theta=\frac23$ 。质点以速率 $v$ 做水平圆周运动。

用 $a$ 和 $g$ 表示 $v$ 。

(4)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ( $g$ ) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ .

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ 。

解答

解法一

思路

展开

张力的竖直分量平衡重力，水平分量提供向心力。把半径 $a\sin\theta$ 代入径向方程。

答题过程

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The radius of the horizontal circle is $a\sin\theta$ . The vertical and inward radial equations are

\begin{align*} T\cos\theta=&\,mg,\\[4mm] T\sin\theta=&\,\frac{mv^2}{a\sin\theta}. \end{align*}

Dividing the second equation by the first eliminates $T$ and $m$ . Hence

\begin{align*} v^2=&\,ag\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}\\[4mm] =&\,ag\frac{1-(2/3)^2}{2/3}\\[4mm] =&\,\frac56ag. \end{align*}

Since $v$ is a speed, $v=\sqrt{5ag/6}$ .

CIE 9231 2023 November Paper 32 Q1

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解答

解法一

思路

答题过程