一个质量为 $0.5\text{ kg}$ 的质点 $P$ 沿直线运动。在 $t\text{ s}$ 时，$P$ 的速度为 $v\text{ m s}^{-1}$，相对于直线上固定点 $O$ 的位移为 $x\text{ m}$。作用在 $P$ 上的力只有一个大小为 $\frac{150}{(x+1)^2}\text{ N}$、沿位移增大方向的力，以及一个大小为 $\frac{450}{(x+1)^3}\text{ N}$ 的阻力。当 $t=0$ 时，$x=0$ 且 $v=20$。

用 $x$ 表示 $v$，将答案写成 $v=\frac{Ax+B}{(x+1)}$ 的形式，其中 $A$ 和 $B$ 为待定常数。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

在向前运动的分支，用 $v\,\mathrm{d}v/\mathrm{d}x$ 表示加速度。积分后把速度平方整理成完全平方，并用初速度确定符号。

The motion starts towards increasing $x$. On this branch Newton’s second law gives

Integrating with respect to $x$ gives

At $x=0$, $v=20$, so $100=-150+225+C$ and $C=25$. Therefore

The branch satisfying $v=20$ at $x=0$ is

Thus $A=-10$ and $B=20$. On this branch $0\le x<2$. Indeed, separating $\mathrm{d}x/\mathrm{d}t=10(2-x)/(x+1)$ gives

This tends to infinity as $x\to2^-$, so the particle approaches $x=2$ without reaching it in finite time.