一块均匀薄片呈等腰三角形 $ABC$ 的形状，其中 $AC=2a$，角 $ABC=90^\circ$。点 $D$ 位于 $AB$ 上，且 $DB:AB=1:k$。点 $E$ 位于 $CB$ 上，使得 $DE$ 平行于 $AC$。从薄片上移去三角形 $DBE$（见图）。

(a) 用 $k$ 表示剩余薄片 $ADEC$ 的质心到 $AC$ 中点的距离。

当薄片 $ADEC$ 从顶点 $A$ 自由悬挂时，边 $AC$ 与竖直向下方向成 $\theta$ 角，其中 $\tan\theta=\frac{5}{18}$。

(b) 求 $k$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

两三角形相似，小三角形的线性尺度是大三角形的 $1/k$。沿对称轴求质心，用大三角形的面积矩减去小三角形的面积矩。

Let $M$ be the midpoint of $AC$. By symmetry the centre of mass is on $BM$. The large triangle has base $2a$, height $BM=a$, area $a^2$ and centroid distance $a/3$ from $AC$.

The removed triangle is similar to the large triangle with scale factor $1/k$. Its area is $a^2/k^2$, and its centroid is $2a/(3k)$ from $B$, so its distance from $AC$ is $a-2a/(3k)$.

Let $d$ be the required distance. Subtracting the area moments gives

Here $k>1$ since the removed triangle is smaller than the original.

悬挂时质心位于 $A$ 的正下方。用 $AM=a$ 和从 $M$ 到质心的垂直距离求题给角的正切。

The line from $A$ to the centroid becomes vertical. Its components along and perpendicular to $AC$ have magnitudes $AM=a$ and $d$, so

Cross-multiplying and simplifying gives

Since $k>1$, the root $-4$ is rejected and $k=3$.