一个质量为 $m$ 的小珠在竖直平面内的一根光滑圆形金属丝上运动，圆心为 $O$，半径为 $a$。小珠位于点 $A$ 时的速率为 $v_A$，其中 $OA$ 与经过 $O$ 的竖直向下方向成 $\alpha$ 角，且 $\cos\alpha=\frac35$。随后，小珠到达点 $B$ 时的速率为 $v_B$，其中 $OB$ 与经过 $O$ 的竖直向上方向成 $\theta$ 角。角 $AOB$ 为直角（见图）。在 $B$ 处，金属丝对小珠的作用力沿 $OB$ 方向，大小等于小珠在 $A$ 处所受作用力大小的 $\frac16$。

(a) 用 $m$ 和 $g$ 表示小珠在 $B$ 处所受作用力的大小。

(b) 已知 $v_A=\sqrt{kag}$，求 $k$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

在 $A$ 与 $B$ 都取指向圆心为径向正方向。$B$ 的反力明确向外，$A$ 的反力需向内以克服重力的向外分量。

Since $\alpha+\theta=90^\circ$, we have $\cos\theta=\sin\alpha=4/5$. Let $R_A$ and $R_B$ be the reaction magnitudes. Taking inwards as positive, the radial equations are

The vertical rise is $a(3/5+4/5)=7a/5$. Conservation of energy gives

Subtracting the radial equations and using $R_A=6R_B$ gives

Hence $R_B=3mg/5$.

用上一问的反力及比例求 $A$ 的反力，再代入 $A$ 的径向方程。

We have $R_A=6R_B=18mg/5$. Substituting into the radial equation at $A$ gives

It follows that $v_A^2=3ag$, so $k=3$.