一个质量为 $m$ 的质点 $P$ 连接在一根长为 $3a$ 的轻杆的一端。杆的另一端可以绕固定点 $A$ 光滑转动。质点还连接在一根自然长度为 $a$、弹性模量为 $kmg$ 的轻弹簧的一端。弹簧的另一端连接在固定点 $B$ 处。点 $A$ 和 $B$ 位于同一水平直线上，相距 $5a$，且这两点与杆位于同一个竖直平面内。

最初，$P$ 在一个竖直力 $F$ 的作用下保持平衡，此时弹簧拉伸后的长度为 $4a$（见图）。质点从这一位置由静止释放，当杆变为水平时，其速率为 $\frac65\sqrt{2ag}$。

(a) 求 $k$ 的值。

(b) 用 $m$ 和 $g$ 表示 $F$。

(c) 用 $m$ 和 $g$ 表示释放前瞬间杆中的张力。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

初始时 $APB$ 是 $3$–$4$–$5$ 直角三角形，先由面积求 $P$ 到 $AB$ 的高度。杆转至水平时，弹簧仍伸长 $a$。用弹性势能减少量支付动能与重力势能的增加。

Initially $AP=3a$, $PB=4a$ and $AB=5a$, so the triangle is right-angled at $P$. Equating the two expressions for its area gives the height of $P$ below $AB$ as $(3a)(4a)/(5a)=12a/5$.

When the rod first reaches the horizontal towards $B$, $PB=5a-3a=2a$. The spring extensions are therefore $3a$ initially and $a$ at the horizontal position. Conservation of energy after release gives

The left side is $4kmga$ and the right side is $(36/25+12/5)mga$. Dividing by $mga$ gives

so $k=24/25$.

释放前沿垂直于杆的方向平衡。该方向恰好沿弹簧，杆力在这个方向没有分量。

The initial spring tension is $T=kmg(3a)/a=3kmg=72mg/25$. If the rod makes an angle $\theta$ below the horizontal, then $\sin\theta=4/5$ and $\cos\theta=3/5$.

The component of the combined downward force $F+mg$ opposite to the spring is $(F+mg)\cos\theta$. Hence

也可以在水平和竖直方向列平衡方程。用水平式消去未知的杆力。

Write $S$ for the tension in the rod and $T=72mg/25$ for the spring tension. The spring makes angle $90^\circ-\theta$ with the horizontal. Equilibrium gives

The first equation gives $S=T\sin\theta/\cos\theta$. Substituting into the second gives

Thus $F=19mg/5$.

沿杆平衡时弹簧力没有分量。用合并后的竖直向下力在杆方向的分量求张力。

The rod tension balances the component of $F+mg$ along the rod away from $A$. Thus

也可只使用水平方向的平衡。杆与弹簧的水平分量大小相同、方向相反。

The horizontal equilibrium equation is $S\cos\theta=T\sin\theta$. Therefore