一个质点 $P$ 从水平面上的点 $O$ 以 $u\text{ m s}^{-1}$ 的速率、与水平方向成仰角 $\theta$ 抛出，此后仅在重力作用下自由运动。在飞行过程中，$P$ 经过一个与 $O$ 的水平距离为 $3a$、在该水平面上方的竖直距离为 $\frac38a$ 的点。已知 $\tan\theta=\frac13$。

(a) 证明 $u^2=8ag$。

在 $P$ 到达最高点的瞬间，一个质点 $Q$ 从 $O$ 以 $V\text{ m s}^{-1}$ 的速率、与水平方向成仰角 $\alpha$ 抛出。质点 $P$ 和 $Q$ 同时落在该水平面上的同一点。

(b) 用 $a$ 和 $g$ 表示 $V$。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

用 $\tan\theta=1/3$ 求 $\sec^2\theta$。把题给坐标代入轨迹方程即可求初速率的平方。

Since $\sec^2\theta=10/9$, substitution in the trajectory equation gives

Thus $5ga^2/u^2=5a/8$, so $u^2=8ag$.

两粒子射程相同，$Q$ 的飞行时间却只有 $P$ 的一半。比较水平方向的位移以及回到同一高度所需时间，求 $Q$ 的发射速度分量。

Let $T=2u\sin\theta/g$ be the flight time of $P$. Since $Q$ is launched at the highest point of the flight of $P$, it flies for $T/2$. Equality of the ranges gives

Since $Q$ returns to its launch height after $T/2$,

Using $\tan\theta=1/3$ gives

Therefore $V=\sqrt{29ag}$.