质点 $P$ 从水平面上的一点 $O$ 以速率 $u\text{ m s}^{-1}$、与水平方向成 $\tan^{-1}2$ 的仰角抛出，并仅在重力作用下自由运动。当 $P$ 从 $O$ 水平运动了 $56\text{ m}$ 时，它在该平面上方的竖直高度为 $H\text{ m}$。当 $P$ 从 $O$ 水平运动了 $84\text{ m}$ 时，它在该平面上方的竖直高度为 $\frac12H\text{ m}$。

求 $u$ 和 $H$ 的值，求解顺序不限。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

初始发射角已知，因此抛物线轨迹只有二次项系数未知。把两个测量点代入，用第二个高度是第一个的一半来消元。

The launch angle $\phi$ satisfies $\tan\phi=2$ and $\sec^2\phi=5$. The trajectory is

with $g=10$. Writing $b=25/u^2$, the two measurements give

Equating the first expression to twice the second gives $112-3136b=336-14112b$. Thus $10976b=224$, so $b=1/49$. Since $b=25/u^2$, $u^2=25(49)=1225$. As $u$ is positive, $u=35\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. The first expression gives $H=112-64=48\,\mathrm{m}$.