质量为 $m$ 的质点 $P$ 连接在一根长为 $a$ 的不可伸长轻绳的一端。绳的另一端连接在固定点 $O$。将质点 $P$ 保持在点 $A$ 处，绳保持绷紧。已知 $OA$ 与过 $O$ 的竖直向下方向成角 $\theta$，其中 $\tan\theta=\frac34$。质点 $P$ 沿垂直于 $OA$ 且向上的方向以速率 $\sqrt{5ag}$ 抛出，开始沿竖直平面内的一条圆形轨道运动。当 $P$ 位于点 $B$ 时，绳中的张力为 $T$，其中角 $AOB$ 为直角。

用 $m$ 和 $g$ 表示 $T$。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

先由切向发射的方向确定 $B$ 在 $O$ 上方。用 $A$、$B$ 的高度差求 $B$ 点速率，再沿半径指向 $O$ 列式。

From $\tan\theta=3/4$, we have $\sin\theta=3/5$ and $\cos\theta=4/5$. Point $A$ is $a\cos\theta$ below $O$. Since the initial tangent points upwards and $OA$ turns through a right angle to $OB$, point $B$ is $a\sin\theta$ above $O$. If the speed at $B$ is $v$, conservation of energy gives

Rearranging gives

At $B$, the component of weight towards $O$ is $mg\sin\theta$. The radial equation gives