一个物体由半径为 $a$、高为 $h$ 的均匀实心圆柱体挖去一个半径为 $\frac23a$、高为 $kh$ $(k<1)$ 的圆柱体而成。两个圆柱体的竖直对称轴重合，且上表面位于同一平面内。点 $A$ 和 $B$ 是该物体上表面一条直径的两个端点（见图）。

(a) 用 $h$ 和 $k$ 表示该物体的质心到 $AB$ 的距离。

当该物体从 $A$ 点悬挂时，$AB$ 与竖直方向的夹角为 $\theta$，其中 $\tan\theta=\frac32$。

(b) 已知 $h=\frac83a$，求 $k$ 的可能值。

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You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

以共同的上表面为取矩基准。两个圆柱的质心都在轴线上，因此剩余物体的质心到 $AB$ 的距离就是它在上表面下方的深度。

The full cylinder has volume $\pi a^2h$ and centroid at depth $h/2$. The removed cylinder has volume $\pi(2a/3)^2kh$ and centroid at depth $kh/2$. Both centroids lie on the common axis through the midpoint of $AB$. Taking volume moments gives the required depth

悬挂后，质心在 $A$ 的正下方。在物体原来的轴截面内，$A$ 到质心的两条直角分量分别为 $a$ 和上一问的深度。

The line from $A$ to the centre of mass is vertical in equilibrium. Its components along and perpendicular to $AB$ have magnitudes $a$ and $y$, respectively. Thus

With $h=8a/3$, this gives

Both solutions satisfy $0<k<1$, so $k=3/8$ or $3/4$.