质量为 $2\text{ kg}$ 的质点 $P$ 沿一条水平直线运动。在时刻 $t\text{ s}$，它相对于该直线上固定点 $O$ 的位移为 $x\text{ m}$，速度为 $v\text{ m s}^{-1}$。作用在 $P$ 上唯一的水平力是变力 $F\text{ N}$，该力可以表示为 $t$ 的函数。已知

且当 $t=0$ 时，$x=5$。

(a) 求 $x$ 关于 $t$ 的表达式。

(b) 求 $t=3$ 时 $F$ 的大小。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

把 $v$ 写成 $x$ 的时间导数。分离变量后，先把右边拆成容易积分的两项。

As $v=\mathrm{d}x/\mathrm{d}t$,

Separating variables and integrating gives

Here $1+t>0$ for $t\ge0$. The initial value $x=5$ selects the positive branch and $C=\ln 5$. Hence

用题给的 $v/x$ 和上一问的 $x$ 写出速度。求 $t=3$ 的导数时，所有仍含因子 $(3-t)$ 的项都为零。

The velocity is $v=5(3-t)(1+t)^3e^{-t}$. The product rule gives

At $t=3$, the last two terms vanish, so

The mass is $2\,\mathrm{kg}$, so the magnitude of the force is $640e^{-3}\,\mathrm{N}$, approximately $31.9\,\mathrm{N}$.