质量为 $0.05\text{ kg}$ 的质点 $P$ 连接在一根长为 $1\text{ m}$ 的不可伸长轻绳的一端。绳的另一端连接在固定点 $O$。质量为 $0.04\text{ kg}$ 的质点 $Q$ 连接在第二根不可伸长轻绳的一端，该绳的另一端连接在 $P$ 上。

质点 $P$ 以角速率 $\omega\text{ rad s}^{-1}$ 在半径为 $0.8\text{ m}$ 的水平圆周上运动。质点 $Q$ 也以角速率 $\omega\text{ rad s}^{-1}$ 在半径为 $1.4\text{ m}$ 的水平圆周上运动。两个圆的圆心均位于 $O$ 的正下方，且 $O$、$P$ 和 $Q$ 始终位于同一竖直平面内。绳 $OP$ 和 $PQ$ 与竖直方向分别保持恒定夹角 $\alpha$ 和 $\beta$（见图）。

(a) 求绳 $OP$ 中的张力。

(b) 求 $\omega$ 的值。

(c) 求 $\beta$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

分别对两粒子列竖直平衡方程，相加后消去 $PQ$ 张力的竖直分量。由 $OP$ 的长度和圆周半径求 $\cos\alpha$。

Let $T_1$ and $T_2$ be the tensions in $OP$ and $PQ$. Since $\sin\alpha=0.8/1$, we have $\cos\alpha=0.6$. The vertical equations for $P$ and $Q$ are

Thus $0.6T_1=0.09g$, giving $T_1=1.5\,\mathrm{N}$.

也可将两个粒子视为整体。$PQ$ 的张力是内力，竖直方向只需考虑 $OP$ 张力与总重力。

The total mass of the two particles is $0.09\,\mathrm{kg}$. The internal forces in $PQ$ cancel, and the system has no vertical acceleration. Thus

Since $\cos\alpha=\sqrt{1-0.8^2}=0.6$, this gives $T_1=1.5\,\mathrm{N}$.

分别沿两个圆周的向心方向列式。$PQ$ 的水平分量对 $P$ 向外、对 $Q$ 向内，相加后消去。

The inward radial equations for $P$ and $Q$ are

Adding gives $1.5(0.8)=0.096\omega^2$. Hence

用 $Q$ 的竖直平衡与径向方程分别求 $PQ$ 张力的两个分量。取两者之比即可得到角度。

For $Q$, we have $T_2\cos\beta=0.04(10)=0.4\,\mathrm{N}$ and $T_2\sin\beta=0.04(1.4)(12.5)=0.7\,\mathrm{N}$. Therefore