质量为 $m$ 的质点 $P$ 连接在一根原长为 $a$、弹性模量为 $5mg$ 的轻弹簧的一端。弹簧的另一端连接在固定点 $O$。弹簧竖直悬挂，$P$ 位于 $O$ 的下方。将质点 $P$ 竖直向下拉动，在弹簧长度为 $\frac32a$ 时由静止释放。

求 $P$ 第一次瞬时静止时位于 $O$ 下方的距离。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

用有符号的伸长表示弹簧长度。释放位置和下一次瞬时静止的位置都没有动能，因此比较两处的弹性势能与重力势能。

Let $x$ be the signed extension at the next turning point. It is $a/2$ at release. The spring initially pulls upwards with force $5mg/2>mg$, so the particle starts upwards. Conservation of energy gives

Rearranging gives $20x^2-8ax-a^2=(2x-a)(10x+a)=0$. The root $x=a/2$ is the release position. The other root is $-a/10$, so the distance below $O$ is $a+x=9a/10$.

也可直接以离 $O$ 的向下距离为未知量，将弹性势能写成弹簧长度与自然长度之差的平方。

If $h$ is the distance below $O$, the extension is $h-a$. Using energy between the two positions of zero speed gives

This simplifies to $20h^2-48ah+27a^2=(10h-9a)(2h-3a)=0$. The particle moves upwards from $3a/2$, so the first subsequent turning point is $h=9a/10$.