质点 $P$ 从水平地面上的一点 $O$ 以速率 $u$、与水平方向成角 $\theta$ 向上抛出，其中 $\tan\theta=\frac13$。质点 $P$ 仅在重力作用下自由运动。以运动平面内过 $O$ 的水平轴和竖直轴为坐标轴，$P$ 经过坐标为 $(3a,\frac45a)$ 的点。

(a) 利用轨迹方程证明 $u^2=25ag$。

在 $P$ 沿水平方向运动的瞬间，质点 $Q$ 从 $O$ 以速率 $V$、与水平方向成角 $\alpha$ 向上抛出。质点 $P$ 和 $Q$ 同时到达地面上的同一点。

(b) 将 $V^2$ 表示为 $kag$ 的形式，其中 $k$ 为有理数。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

将题给坐标代入轨迹方程。由 $\tan\theta$ 先算出 $\sec^2\theta$，再解初速率的平方。

The trajectory is

Since $\tan\theta=1/3$, we have $\sec^2\theta=10/9$. At $(3a,4a/5)$ this gives

Thus $5ga^2/u^2=a/5$, so $u^2=25ag$.

$Q$ 从 $P$ 的最高点时刻才开始飞行，所以飞行时间只有 $P$ 的一半，但射程相同。先算出 $P$ 的飞行时间和射程，再求 $Q$ 的两个速度分量。

We have $\sin\theta=1/\sqrt{10}$ and $\cos\theta=3/\sqrt{10}$. The flight time $T$ and range $R$ of $P$ are

The flight of $Q$ lasts $T/2$. Horizontal and vertical displacements give

Thus its horizontal component is $2R/T$ and its vertical component is $gT/4$. Hence

也可直接比较两粒子的速度分量。相同的水平位移配上减半的飞行时间，意味着 $Q$ 的水平分量加倍，竖直分量减半。

The range equations give $V\cos\alpha(T/2)=u\cos\theta\,T$, so $V\cos\alpha=2u\cos\theta$. Since the flight time at equal launch and landing heights is twice the initial vertical component divided by $g$, we also have $V\sin\alpha=\frac12u\sin\theta$. It follows that