质量为 $m$ 的质点 $P$ 连接在一根长为 $a$ 的不可伸长轻绳的一端。绳的另一端连接在固定点 $O$。将质点 $P$ 保持在绳绷紧的位置，此时绳与过 $O$ 的竖直向下方向成角 $\theta$。质点 $P$ 沿垂直于绳的方向以速率 $\frac13\sqrt{10ag}$ 抛出，并开始沿圆形轨道向下运动。当绳处于竖直位置时，它碰到位于 $O$ 正下方点 $A$ 处的一个光滑小钉。圆形轨道与点 $A$ 位于同一竖直平面内。绳碰到小钉后，质点 $P$ 开始绕 $A$ 在竖直圆周上运动。当绳与过 $A$ 的竖直向上方向成角 $\theta$ 时，绳变得松弛（见图）。$A$ 在 $O$ 下方的距离为 $\frac59a$。

(a) 求 $\cos\theta$ 的值。

(b) 求绳碰到小钉前、后瞬间的张力之比。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

钉子改变圆周半径。分别对接触钉子前和接触后列能量式，再在绳刚松弛处令张力为零。

Write $c=\cos\theta$. Let $v$ be the speed at the bottom, where the string first meets the peg, and let $w$ be the speed when it becomes slack. The first drop is $a(1-c)$, so

The new radius about $A$ is $4a/9$. From the bottom to the point of slackness, the rise is $(4a/9)(1+c)$. Therefore

At slackness, the inward radial component $mgc$ alone supplies the centripetal force:

Thus $20-26c=4c$, giving $\cos\theta=2/3$.

也可直接比较抛出点与松弛点的高度。用同一个水平面为基准，只列一次能量方程。

Relative to the bottom, the launch and slackness heights are $a(1-\cos\theta)$ and $\frac49a(1+\cos\theta)$. The constraint does no work and the speed is continuous when the string meets the peg. Conservation of energy gives

With zero tension at slackness, $w^2=(4ag/9)\cos\theta$. Equating the two expressions gives $\cos\theta=2/3$.

碰钉前后速率相同，但圆周半径从 $a$ 变为 $4a/9$。在最低点，两次向心方向均竖直向上。

At the bottom, $v^2=\frac{28}{9}ag-2ag(2/3)=\frac{16}{9}ag$. The string is vertical and the weight acts away from the centre of either circle. The tensions immediately before and after the string meets the peg satisfy

Thus $T_1=\frac{25}{9}mg$ and $T_2=5mg$, giving the ratio $T_1:T_2=5:9$.