题目

Problem

A particle $P$ of mass $m\text{ kg}$ is held at rest at a point $O$ and released so that it moves vertically under gravity against a resistive force of magnitude $0.1mv^2\text{ N}$ , where $v\text{ m s}^{-1}$ is the velocity of $P$ at time $t\text{ s}$ .

(a) Find an expression for $v$ in terms of $t$ .

(6)

The displacement of $P$ from $O$ at time $t\text{ s}$ is $x\text{ m}$ .

(b) Find an expression for $v^2$ in terms of $x$ .

(5)

题目中文翻译

质量为 $m\text{ kg}$ 的质点 $P$ 被保持在点 $O$ 处静止，然后释放，使其在重力作用下沿竖直方向运动，并受到大小为 $0.1mv^2\text{ N}$ 的阻力，其中 $v\text{ m s}^{-1}$ 为时刻 $t\text{ s}$ 时 $P$ 的速度。

(a) 求 $v$ 关于 $t$ 的表达式。

(6)

时刻 $t\text{ s}$ 时， $P$ 相对于 $O$ 的位移为 $x\text{ m}$ 。

(b) 求 $v^2$ 关于 $x$ 的表达式。

(5)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ( $g$ ) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ .

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ 。

解答

(a)

解法一

思路

展开

取竖直向下为正，阻力向上。将速度的微分方程分离变量，并用静止释放的初值确定对数式。

答题过程

展开

Take downwards as positive. With $g=10$ , Newton’s second law gives

\begin{align*} m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=&\,mg-0.1mv^2,\\[4mm] \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=&\,10-\frac1{10}v^2=\frac{100-v^2}{10}. \end{align*}

The terminal speed is $10$ . On the branch starting at $v=0$ , we have $0\le v<10$ , so the logarithm arguments below are positive. Separating variables and using partial fractions gives

\begin{align*} \frac{10}{100-s^2}=&\,\frac12\bigg(\frac1{10+s}+\frac1{10-s}\bigg),\\[4mm] \int_0^v\frac{10\,\mathrm{d}s}{100-s^2}=&\,\int_0^t1\,\mathrm{d}\tau,\\[4mm] \frac12\big[\ln(10+s)-\ln(10-s)\big]_0^v=&\,t,\\[4mm] \frac12\ln\bigg(\frac{10+v}{10-v}\bigg)=&\,t. \end{align*}

Thus $(10+v)/(10-v)=e^{2t}$ and

v=10\frac{e^{2t}-1}{e^{2t}+1}.

This satisfies $0\le v<10$ for finite $t\ge0$ .

(b)

解法一

思路

展开

要求速率平方与位移的关系时，用 $v\,\mathrm{d}v/\mathrm{d}x$ 代替加速度。积分后用 $x=0$ 时 $v=0$ 的条件消去常数。

答题过程

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Using $\mathrm{d}x/\mathrm{d}t=v$ gives $v\,\mathrm{d}v/\mathrm{d}x=(100-v^2)/10$ . Integrating from $x=0$ , $v=0$ gives

\begin{align*} \int_0^v\frac{s}{100-s^2}\,\mathrm{d}s=&\,\int_0^x\frac1{10}\,\mathrm{d}y,\\[4mm] -\frac12\big[\ln(100-s^2)\big]_0^v=&\,\frac{x}{10},\\[4mm] -\frac12\ln\bigg(\frac{100-v^2}{100}\bigg)=&\,\frac{x}{10}. \end{align*}

Hence $100-v^2=100e^{-x/5}$ , and

v^2=100(1-e^{-x/5}).

CIE 9231 2024 November Paper 32 Q7

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程