质点 $P$ 在一条水平直线上运动。在 $t\,\mathrm{s}$ 时，$P$ 相对于直线上固定点 $O$ 的位移为 $x\,\mathrm{m}$，速度为 $v\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。$P$ 的加速度为 $\frac12(v^2+4)\,\mathrm{m\,s^{-2}}$，方向沿 $PO$。初始时，$P$ 位于 $O$，并以速度 $2\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 运动。

(a) 求用 $t$ 表示 $x$ 的表达式。

(b) 求 $P$ 下一次经过 $O$ 的时刻。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要重力加速度的数值时，取 $g=10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

从出发到第一次返回 $O$，位移为正，指向 $O$ 的加速度为负。先分离变量求速度，再积分求位移。

Take the initial direction as positive. On the first excursion, $x>0$, so the acceleration toward $O$ gives

Separating and integrating gives

At $t=0$, $v=2$, so $C=\pi/8$. Thus

Since $v=\mathrm{d}x/\mathrm{d}t$, integration gives $x=2\ln\big[\cos(\pi/4-t)\big]+B$, since the cosine is positive on this first excursion. At $t=0$, $x=0$, so $B=-2\ln(\cos(\pi/4))=\ln2$. Therefore

up to the first return to $O$.

令 (a) 的对数为零。余弦关于零点对称，因此越过速度为零的时刻后，首次取回出发时的余弦值。

Setting $x=0$ gives $\cos(\pi/4-t)=\cos(\pi/4)$. Starting from $t=0$, the angle $\pi/4-t$ decreases from $\pi/4$, so the next equality is at $\pi/4-t=-\pi/4$. Thus the first return occurs at $\boxed{t=\pi/2\ \mathrm{s}}$.