均匀薄片 $OABCD$ 由矩形 $OACD$ 和三角形 $ABC$ 构成。$OA$ 的长度为 $ka$，$OD$ 的长度为 $2a$，三角形 $ABC$ 的高为 $h$，且角 $CAB$ 为 $45^\circ$（见图）。相对于如图所示经过 $O$、分别平行和垂直于 $OA$ 的坐标轴，三角形 $ABC$ 的质心为 $(\bar{x},\bar{y})$。

(a) 证明

并求 $\bar{y}$ 的表达式。

将薄片 $OABCD$ 竖直放置在水平面上的边 $OA$ 上。

(b) 用 $a$ 和 $k$ 表示使薄片处于平衡的 $h$ 的取值集合。

现已知 $k=\frac{\sqrt3}{3}$，且薄片正处于倾倒临界状态。

(c) 用 $a$ 表示三角形 $ABC$ 质心的坐标。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要重力加速度的数值时，取 $g=10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

$B$ 到直线 $AC$ 的水平距离为 $h$。由 $45^\circ$ 角，它到水平轴的高度也为 $h$。取三个顶点坐标的平均。

The vertices are $A=(ka,0)$, $B=(ka+h,h)$ and $C=(ka,2a)$. Hence the centroid is

Therefore $\bar x=\frac13(3ka+h)$ and $\boxed{\bar y=\frac13(2a+h)}$.

也可用中线。重心从 $AC$ 的中点向 $B$ 走整条中线的三分之一。

The midpoint of $AC$ is $(ka,a)$. The vector from that midpoint to $B$ is $(h,h-a)$, so the centroid is $(ka,a)+\frac13(h,h-a)$. This gives $\bar x=ka+h/3$ and $\bar y=(2a+h)/3$.

整体重心的竖直投影必须落在 $OA$ 上。比较矩形和三角形对端点 $A$ 的面积矩，可直接判断投影是否越过 $A$。

The rectangle has area $2ka^2$ and its centroid is a horizontal distance $ka/2$ to the left of $A$. The triangle has area $ah$ and its centroid is $h/3$ to the right of $A$. Both centroids have non-negative horizontal coordinates from $O$. Thus the projection of the combined centre of mass lies on $OA$ exactly when the moment of area to the right of $A$ is at most the moment to its left:

Hence the equilibrium range is $\boxed{0\le h\le\sqrt3\,ka}$, with $h=0$ as the limiting rectangular case.

先按面积加权求整体质心的横坐标，再要求其不超过支撑边右端点 $A$ 的横坐标。用 $X$ 表示整体坐标，以区别于 (a) 中三角形的 $\bar x$。

Let $X$ be the horizontal coordinate of the centre of mass of the whole lamina. Taking area moments about the vertical axis gives

All parts lie to the right of $O$, so $X\ge0$. For equilibrium on $OA$, we also need $X\le ka$. Since $a,k>0$ and $h\ge0$, the denominator is positive. Hence

Therefore $\boxed{0\le h\le\sqrt3\,ka}$.

将要绕 $A$ 倾覆时，取 (b) 中的上限。代入给定的 $k$ 得 $h=a$，再代回三角形的重心坐标。

At the point of toppling, $h=\sqrt3\,ka=a$. Substituting $k=\sqrt3/3$ and $h=a$ into (a) gives