质量为 $m$ 的质点 $P$ 连接于一根长度为 $a$ 的轻质不可伸长细绳的一端，细绳另一端连接于固定点 $O$。初始时，$P$ 被保持在细绳拉紧的位置，且细绳与经过 $O$ 的竖直向上方向成 $60^\circ$ 角。质点 $P$ 以速度 $\sqrt{17ag}$ 沿垂直于细绳的向下方向投出。之后，它在以 $O$ 为圆心的竖直平面内沿圆形轨迹运动（见图）。在轨迹的最低点，即 $O$ 的正下方，质点 $P$ 与一个静止质点 $Q$ 碰撞。

(a) 用 $a$ 和 $g$ 表示 $P$ 与 $Q$ 碰撞前瞬间的速率。

碰撞后，$P$ 反弹并沿以 $O$ 为圆心的圆形轨迹返回运动。当 $P$ 到达圆周上 $O$ 的正上方的点时，细绳变松。

(b) 用 $a$ 和 $g$ 表示 $P$ 与 $Q$ 碰撞后瞬间的速率。

质点 $Q$ 的质量为 $km$，且 $P$ 与 $Q$ 的碰撞为完全弹性碰撞。

(c) 求 $k$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要重力加速度的数值时，取 $g=10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

初始位置在 $O$ 上方 $a\cos60^\circ$，最低点在 $O$ 下方 $a$。张力垂直于速度，不做功。

The vertical drop before impact is $a\cos60^\circ+a=3a/2$. Conservation of energy gives $\frac12m(17ag)+mg(3a/2)=\frac12mv^2$, hence $v^2=17ag+3ag=20ag$. The speed immediately before collision is $\boxed{\sqrt{20ag}}$.

到达最高点时绳恰好松弛，张力为零，重力单独提供向心力。由此求最高点速度，再用能量守恒回到碰撞后的最低点。

At the top the tension is zero, so $mg=mV^2/a$ and $V^2=ag$. If $w$ is the speed immediately after collision at the bottom, the rise to the top is $2a$. Conservation of energy gives $\frac12mw^2=\frac12mV^2+2mga$, hence $w^2=V^2+4ag=5ag$, and $\boxed{w=\sqrt{5ag}}$.

取 $P$ 碰撞前的方向为正。反弹后 $P$ 的速度为负，先用完全弹性碰撞的恢复关系求 $Q$ 的速度，再用动量守恒。

Let $s=\sqrt{5ag}$. With the incoming direction positive, $P$ has velocities $2s$ before impact and $-s$ afterward. If $Q$ has final velocity $v_Q$, then $e=1$ gives $v_Q-(-s)=2s$. Thus $v_Q=s$.

Conservation of momentum gives $m(2s)=m(-s)+km(s)$. Dividing by $ms>0$ gives $2=-1+k$, so $\boxed{k=3}$.

完全弹性碰撞也可用动能守恒。将动量式与动能式结合，消去 $Q$ 的速度。

With $s=\sqrt{5ag}$ and the incoming direction positive, momentum conservation gives $kv_Q=3s$. Kinetic energy conservation gives $4s^2=s^2+kv_Q^2$, or $kv_Q^2=3s^2$. Squaring the momentum equation and dividing by the energy equation gives $k=9s^2/(3s^2)=3$.