质点 $Q$ 初始时位于质点 $P$ 的正上方，二者竖直距离为 $d$。质点 $P$ 以速率 $U$、与水平方向成角 $\alpha$ 向上投出。同时，$Q$ 以与水平方向向下成角 $\beta$ 投出。两个质点均仅在重力作用下运动，并在投出后 $T$ 时刻相撞。

(a) 证明

两质点相撞时，$P$ 正处于最大高度。

(b) 已知 $\alpha=30^\circ$ 且 $\beta=60^\circ$，用 $U$ 和 $g$ 表示 $d$。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要重力加速度的数值时，取 $g=10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

两粒子从同一竖直线上同时出发，要相碰就必须具有相同的水平速度。竖直方向上两者的重力加速度相同，相对距离只由初速度分量决定。

Let $W$ be the projection speed of $Q$. Equality of horizontal positions at $T>0$ gives $W\cos\beta=U\cos\alpha$. Taking the initial height of $P$ as zero, equality of vertical positions gives

Substituting $W=U\cos\alpha/\cos\beta$ and rearranging yields

在最高点，$P$ 的竖直速度为零。用这个条件求 $T$，再代入 (a)。

At the highest point $U\sin\alpha-gT=0$, so $T=U/(2g)$ for $\alpha=30^\circ$. For $\beta=60^\circ$, the bracket in (a) is $\frac12+\frac{\sqrt3}{2}\sqrt3=2$. Therefore