两个半径相等的均匀光滑球 $A$ 和 $B$ 位于水平面上，质量分别为 $m$ 和 $km$。球 $A$ 以速率 $u$、与连心线成角 $\alpha$ 的方向运动，并与静止的球 $B$ 碰撞。碰撞后瞬间，球 $A$ 以速率 $v$、与连心线成角 $2\alpha$ 的方向运动（见图）。

已知 $\tan\alpha=\frac34$。

(a) 用 $u$ 表示 $v$。

(b) 用 $k$ 表示两球之间的恢复系数。

(c) 求 $k$ 的可能取值范围。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要重力加速度的数值时，取 $g=10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

光滑球的碰撞冲量沿连心线，所以垂直于连心线的速度分量不变。用正弦倍角公式求速度大小。

Since the impulse is along the line of centres, $u\sin\alpha=v\sin2\alpha$. From $\tan\alpha=3/4$, we have $\sin\alpha=3/5$, $\cos\alpha=4/5$ and $\sin2\alpha=24/25$. Thus $\boxed{v=5u/8}$.

沿连心线列动量守恒，先求 $B$ 的碰后速度。恢复系数同样只用沿连心线的速度分量。

Take the direction from $A$ toward $B$ as positive along the line of centres. The final velocity of $B$ is along that line, with component $w$. Since $\cos2\alpha=7/25$, conservation of momentum gives

The approach speed is $4u/5$ and the separation speed is $w-7u/40$. Hence

质量为正，所以乘以 $32k$ 时不等号方向不变。将 $e$ 的表达式夹在 $0$ 与 $1$ 之间。

Since $k>0$, the condition $0\le e\le1$ becomes $0\le25-7k\le32k$. Hence $7k\le25\le39k$, giving