质量为 $m\,\mathrm{kg}$ 的质点 $P$ 沿粗糙水平桌面运动。在 $t\,\mathrm{s}$ 时，$P$ 相对于桌面上固定点 $O$ 的位移为 $x\,\mathrm{m}$，速度为 $v\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。质点 $P$ 受到大小为 $mgkv\,\mathrm{N}$ 的阻力，其中 $k$ 为正的常数；还受到大小为 $\mu mg$ 的摩擦力。质点 $P$ 初始时位于 $O$，速率为 $U\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。

(a) 证明

已知 $U=10$、$k=0.04$ 且 $\mu=0.2$。

(b) 求 $P$ 停止运动前移动的距离。

(c) 求 $P$ 在运动期间的平均速率。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要重力加速度的数值时，取 $g=10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

取初速度方向为正。运动时阻力和摩擦力都反向。将速度方程分离变量，用从 $U$ 到 $v$ 的定积分消去积分常数。

While $P$ is moving, Newton’s second law gives

Separating variables and integrating from $t=0$ to $t$ yields

用 $v\,\mathrm{d}v/\mathrm{d}x$ 将加速度改写为关于位移的导数。速度从 $10$ 降到 $0$，按这两个端点积分。

With the given values and $g=10$, the equation is $v\,\mathrm{d}v/\mathrm{d}x=-\frac25(v+5)$. The distance to rest is

也可先由 (a) 解出速度关于时间的表达式，再从出发时刻积分到速度为零。

Part (a) gives $t=(5/2)\ln\big(15/(v+5)\big)$, so $v+5=15e^{-2t/5}$. Setting $v=0$ gives $e^{-2t_s/5}=1/3$, hence the stopping time is $t_s=(5/2)\ln3$. Therefore the distance is

将未舍入的总路程除以停止前的总时间，最后再取三位有效数字。

Using the exact distance and stopping time, the average speed is