质量为 $m$ 的质点 $P$ 在半径为 $r$ 的光滑半球壳内表面上，以角速度 $\omega_1$ 作水平圆周运动。表面对 $P$ 的法向反作用力与竖直向上方向的夹角为 $\theta_1$，其中 $\tan\theta_1=\frac34$。

当角速度增大至 $\omega_2$ 时，表面对 $P$ 的法向反作用力与竖直向上方向的夹角变为 $\theta_2$，其中 $\tan\theta_2=\frac43$。

求比值 $\frac{\omega_1}{\omega_2}$。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要重力加速度的数值时，取 $g=10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

支持力的竖直分量平衡重力，水平分量提供向心力。圆周半径为 $r\sin\theta$，因此两式消去支持力后只剩 $\cos\theta$。

For either motion, let $N$ be the normal reaction. The radius of the horizontal circle is $r\sin\theta$, so

The angles are acute. Cancelling $\sin\theta$ gives $N=mr\omega^2$, hence $\omega^2=g/(r\cos\theta)$. Using $\cos\theta=1/\sqrt{1+\tan^2\theta}$ for acute $\theta$, the given tangents give $\cos\theta_1=1/\sqrt{1+9/16}=4/5$ and $\cos\theta_2=1/\sqrt{1+16/9}=3/5$. Therefore