一根长度为 $12a$ 的轻质不可伸长细绳穿过一个固定的光滑环 $R$。细绳的一端连接质量为 $m$ 的质点 $A$，另一端连接质量为 $0.5m$ 的质点 $B$。质点 $A$ 在环的正下方竖直悬挂并处于平衡。质点 $B$ 以恒定角速度 $\omega$ 在水平圆周上运动，且该圆以质点 $A$ 为圆心。$AR$ 与 $BR$ 的夹角为 $\theta$（见图）。

用 $g$ 和 $a$ 表示 $\omega$。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要重力加速度的数值时，取 $g=10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

先由 $A$ 的平衡求绳张力，再用 $B$ 的竖直平衡求角度。圆的半径来自绳段 $BR$ 的水平投影，水平方向张力提供向心力。

The smooth ring makes the tension $T$ the same on both sides. Since $A$ is in equilibrium, $T=mg$. The vertical acceleration of $B$ is zero, so $T\cos\theta=\frac12mg$, giving $\cos\theta=\frac12$.

Since $A$ and $B$ are at the same height, $AR=BR\cos\theta$. The total length $AR+BR=12a$ gives $(1+\cos\theta)BR=12a$, hence $\frac32BR=12a$ and $BR=8a$. The radius of the circle is $BR\sin\theta$. Resolving horizontally toward its centre,

Here $\theta=60^\circ$, so $\sin\theta\ne0$. Cancelling it gives $mg=\frac12m\omega^2(8a)=4ma\omega^2$, hence $\omega^2=g/(4a)$. Hence