质点 $P$ 从水平面上的点 $O$ 以速度 $u\,\mathrm{m\,s^{-1}}$、与水平方向成角 $\theta$ 的方向斜向上抛出，其中 $\tan\theta=2$，随后仅在重力作用下运动。在 $t\,\mathrm{s}$ 时，$P$ 相对于 $O$ 的水平位移和竖直位移分别记为 $x\,\mathrm{m}$ 和 $y\,\mathrm{m}$。

(a) 使用公式表（MF 19）中给出的轨迹方程，证明

(b) 在随后的运动中，$P$ 经过坐标为 $(8,12)$ 的点。该质点随后撞上一面高为 $7\,\mathrm{m}$ 的固定竖直挡板；挡板距投射点的水平距离为 $D\,\mathrm{m}$。

求 $D$ 的可能取值集合。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要重力加速度的数值时，取 $g=10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

从公式表的轨迹方程开始。用 $1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$ 将 $\cos^2\theta$ 换成已知值。

The trajectory equation is $y=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta}$. Here $\tan\theta=2$, $\sec^2\theta=1+\tan^2\theta=5$, so $\cos^2\theta=1/5$ and $g=10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$. Substitution gives $y=2x-\frac{25x^2}{u^2}$.

先用 $(8,12)$ 确定初速度。到达障碍物必须在通过该点之后，且此时高度介于地面与障碍物顶端之间。

At $(8,12)$, part (a) gives $12=16-25(8)^2/u^2$, so $4u^2=25(64)=1600$, giving $u^2=400$. The height at $x=D$ is

The barrier is reached after the point at $x=8$, so $D>8$. The condition $y(D)=D(32-D)/16\ge0$ gives $D\le32$ for $D>0$. Also $y(D)\le7$ is equivalent to

Thus $D\le4$ or $D\ge28$. Combining the conditions gives $\boxed{28\le D\le32}$, counting contact with the top or foot of the barrier.