薄片 $BFDE$ 由边长为 $2a$ 的均匀正方形薄片 $ABCD$ 去除三角形 $AED$ 和 $BCF$ 得到。边 $AE$ 的长度为 $a$，边 $FC$ 的长度为 $h$（见图）。$BFDE$ 的质心距 $AD$ 的距离为 $\bar{x}$，距 $AB$ 的距离为 $\bar{y}$。

(a) 证明

并求 $\bar{y}$ 的相应表达式。

(b) 将薄片 $BFDE$ 竖直放置在光滑水平面上的边 $EB$ 上。

用 $a$ 表示使薄片保持平衡的 $h$ 的可能取值集合。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要重力加速度的数值时，取 $g=10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

面密度相同，可用面积代替质量。以 $AD$ 和 $AB$ 为坐标基准，把挖去的两个三角形的面积及力矩从正方形中减掉。

Measure $x$ from $AD$ and $y$ from $AB$. The centroid of a triangle is the average of its three vertex coordinates. The areas and centroids are

The remaining area is $M=3a^2-ah$. Taking area moments gives

Dividing by $M=a(3a-h)$ gives

也可沿 $EF$ 将保留的部分分成两个三角形。用两个三角形的面积加权，不必对挖去的部分取负号。

The triangles $DEF$ and $EBF$ have respective areas $a(2a-h)$ and $a^2$. Their centroids, using distances from $AD$ and $AB$, are

Hence

Expanding $(2a-h)(3a-h)+a(5a-h)=6a^2-5ah+h^2+5a^2-ah=h^2-6ah+11a^2$ and dividing by $a(3a-h)$ gives

重力的作用线必须落在支撑边 $EB$ 上。沿 $AB$ 的坐标中，$E$ 在 $a$，$B$ 在 $2a$；重心本来就在正方形内，只需再检查左端。

The vertical line through the centre of mass must meet $EB$, so $a\le\bar x\le2a$. The upper condition holds because the lamina lies in the square. For $0\le h\le2a$, we have $3a-h>0$, so the lower condition becomes

Thus $\boxed{0<h\le a\ \text{or}\ h=2a}$. If the zero-length cut $F=C$ is included, $h=0$ also satisfies the equilibrium condition.