质量为 $m\,\mathrm{kg}$ 的质点 $P$ 从点 $O$ 以初速度 $20\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 竖直向上投出，随后在重力作用下运动。存在大小为 $0.025mv^2\,\mathrm{N}$ 的阻力，其中 $v\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 是投出后 $t\,\mathrm{s}$ 时 $P$ 的速率。投出后 $t\,\mathrm{s}$ 时，$P$ 相对于 $O$ 的位移为 $x\,\mathrm{m}$。

(a) 当 $P$ 向上运动时，求用 $x$ 表示 $v$ 的表达式。

(b) 当 $P$ 向上运动时，求用 $t$ 表示 $v$ 的表达式。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要重力加速度的数值时，取 $g=10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

向上运动时重力和阻力都向下。将加速度写成 $v\,\mathrm{d}v/\mathrm{d}x$，分离变量后用出发点速度确定常数。

Taking upward as positive and using $g=10$,

Thus $v\,\mathrm{d}v/(v^2+400)=-\mathrm{d}x/40$. Integrating gives

Multiplying by $2$ and writing $C=2C_1$ gives $\ln(v^2+400)=-x/20+C$. At $x=0$, $v=20$, so $C=\ln800$. Therefore $v^2=800e^{-x/20}-400$ and the positive root gives the upward speed, for $0\le x<20\ln2$,

将同一个加速度写成 $\mathrm{d}v/\mathrm{d}t$。分离后，左边是反正切积分。

The force equation is $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-(v^2+400)/40$. Separating gives $\mathrm{d}v/(v^2+400)=-\mathrm{d}t/40$. Since $\int\mathrm{d}v/(v^2+400)=\frac1{20}\arctan(v/20)$, integration and multiplication by $40$ give

At $t=0$, $v=20$, so $C=\pi/2$. On the upward part of the motion, $0\le t<\pi/2$ and $v>0$, so