$X$ 和 $Y$ 是光滑水平面上的两面固定光滑竖直墙。两墙彼此平行，相距 $d$。点 $P_1$、$P_2$ 和 $P_3$ 均在该平面上。

质点 $Q$ 从墙 $X$ 上的点 $P_1$ 以速度 $u$ 水平投出，并沿平面运动。质点 $Q$ 在点 $P_2$ 撞上墙 $Y$。碰撞前瞬间，$Q$ 的运动方向与墙 $Y$ 成角 $\alpha$，其中 $\sin\alpha=\frac45$。碰撞后瞬间，$Q$ 的运动方向与墙 $Y$ 成角 $\theta$。质点 $Q$ 随后在点 $P_3$ 撞上墙 $X$（见图）。

$Q$ 走过距离 $P_1P_2$ 所需时间为 $T$。$Q$ 走过距离 $P_2P_3$ 所需时间为 $kT$。

用 $k$ 表示 $Q$ 与墙 $Y$ 之间的恢复系数。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要重力加速度的数值时，取 $g=10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

恢复系数只涉及垂直于墙的速度分量。两段路程在该方向上都跨越墙距 $d$，所以用各自所花时间即可求这两个分量。

On the smooth surface the velocity is constant on each leg. Before the collision, the magnitude of the velocity perpendicular to the walls is $d/T$. After the collision it reverses direction, and its magnitude is $d/(kT)$ because the particle crosses the same gap in time $kT$.

Let the speed immediately after impact be $v$. The component geometry gives

Newton’s law of restitution therefore gives