设 $u_r=e^{rx}(e^{2x}-2e^x+1)$。

(a) 利用差分法或其他方法，求 $\displaystyle\sum_{r=1}^n u_r$，用 $n$ 和 $x$ 表示。

(b) 由此推得使无穷级数

收敛的非零 $x$ 的取值集合，并在无穷和存在时给出其值。

(c) 利用公式表（MF19）中的一个标准结果，求 $\displaystyle\sum_{r=1}^n\ln u_r$，用 $n$ 和 $x$ 表示。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

每项含有三个相邻指数项，展开前三项与最后三项，看清系数 $1,-2,1$ 怎样使中间项相消。

Expanding a general term,

Consequently,

Each interior exponential has total coefficient $1-2+1=0$. The displayed beginning and end overlap for small $n$, so each actual summand is counted once; direct substitution gives the same formula for those cases. Equivalently, the sum is $e^x(e^x-1)(e^{nx}-1)$.

另把与 $r$ 无关的因子提出求和号，剩下的是等比数列。要单独处理公比等于 $1$ 的情形。

For $x\ne0$, $e^x\ne1$, and

At $x=0$, every $u_r=0$; the sum is $0$, which also agrees with the boxed expression.

从有限和取极限，区分 $x<0$ 与 $x>0$；题目已排除 $x=0$。

For $x<0$, $0<e^x<1$, so $e^{nx}\to0$ as $n\to\infty$. Using part (a),

For $x>0$, $e^{nx}\to\infty$ and the nonzero factor $e^x(e^x-1)$ is positive, so the partial sums diverge. Thus, among nonzero values of $x$, convergence occurs precisely for $\boxed{x<0}$.

先把 $u_r$ 写成正指数乘平方，确保对数有定义，再把对数拆成关于 $r$ 的一次式。

For $x\ne0$,

so

Using the standard result

Thus

At $x=0$, $u_r=0$ and these logarithms are undefined.