题目
Problem
The cubic equation x3+4x2+6x+1=0 has roots α, β, γ.
(a) Find the value of α2+β2+γ2.
(2)
(b) Use standard results from the list of formulae (MF19) to show that
r=1∑n((α+r)2+(β+r)2+(γ+r)2)=n(n2+an+b),
where a and b are constants to be determined.
(6)
题目中文翻译
三次方程 x3+4x2+6x+1=0 的根为 α、β、γ。
(a) 求 α2+β2+γ2 的值。
(2)
(b) 利用公式表（MF19）中的标准结果，证明
r=1∑n((α+r)2+(β+r)2+(γ+r)2)=n(n2+an+b),
其中 a 和 b 是待求的常数。
(6)
原卷通用作答要求
Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.
You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.
Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.
请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。
解答
(a)
解法一
思路
展开
由韦达定理得到根和与二次对称和，再用平方和恒等式。
答题过程
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Vieta’s formulae give α+β+γ=−4 and αβ+βγ+γα=6. Hence
α2+β2+γ2=(−4)2−2(6)=4.
(b)
解法一
思路
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先对固定r把三个平方展开合并，根的资料随即化为常数与一次项，再对r应用标准求和。
答题过程
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For each r, using (a),
==(α+r)2+(β+r)2+(γ+r)2(α2+β2+γ2)+2r(α+β+γ)+3r24−8r+3r2.
Therefore the required sum is
r=1∑n(4−8r+3r2)====4n−82n(n+1)+36n(n+1)(2n+1)4n−4n(n+1)+21n(n+1)(2n+1)n[4−4(n+1)+21(n+1)(2n+1)]n(n2−25n+21).
Thus a=−25,b=21.
